线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量、向量空间（或线性空间）、线性变换和有限维线性方程组。本文将从最基础的向量概念开始，逐步介绍矩阵及其运算，帮助读者建立对线性代数的基本认识。
向量的概念
在数学中，向量是一个具有大小和方向的量。我们可以将向量表示为有序的数字列表，例如在二维平面中，一个向量可以表示为：
v = [v₁, v₂]
其中v₁和v₂分别是向量在x轴和y轴上的分量。类似地，三维空间中的向量可以表示为[v₁, v₂, v₃]。
向量的基本运算包括：
- 向量加法：两个向量对应分量相加
- 标量乘法：向量的每个分量乘以一个常数
- 点积：两个向量对应分量乘积的和，结果是一个标量
- 叉积：仅在三维空间中定义，结果是一个垂直于两个输入向量的新向量
矩阵的概念
矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列，通常用大写字母表示。一个m×n的矩阵有m行和n列：
A = [a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙ]
[a₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ]
[ ... ... ... ... ]
[aₘ₁ aₘ₂ ... aₘₙ]
矩阵在科学计算和工程中有着广泛的应用，它可以用来表示线性变换、解线性方程组等。